Primeros pasos
Existen varias formas de empezar a trabajar con JavaScript en el navegador. Vamos a ver dos de ellas.

La primera, y quizá la forma más fácil, es utilizar una herramienta en línea como Codepen. Ingresa a ese link y vas a ver una pantalla similar a la siguiente:
Codepen
Es posible que no sea exactamente igual (p.e. si la actualizaron) pero lo importante es que vas a tener 3 espacios para escribir el HTML, CSS y JavaScript respectivamente. En el espacio para el HTML omite las etiquetas html, head y body, todo lo que escribas allí va a estar dentro del body que Codepen crea para ti.

Otra forma de empezar a trabajar con JavaScript desde el navegador es crear un documento HTML y crear un tag script. Puedes copiar la siguiente estructura en un archivo HTML para empezar:
<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
<meta charset="UTF-8">
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
<title>Prueba de JavaScript</title>
</head>
<body>
<script>
// acá va el código que vamos a escribir
</script>
</body>
</html>
O puedes crear un archivo con extensión .js y referenciarlo desde el HTML antes de cerrar el body (que es una mejor práctica):
<script src="app.js"></script>
Nota: En este caso el archivo app.js se debe encontrar en la misma carpeta que el archivo HTML para que funcione.

Independiente de cómo quieras empezar a trabajar con JavaScript, vamos a escribir nuestro primer ejemplo.
Crea un div en el HTML de Codepen o de tu documento como se muestra a continuación:
<div></div>
Escribe el siguiente código CSS (si creaste un documento HTML puedes hacerlo en la etiqueta <style> dentro del <head>):
div {
background-color: red;
height: 200px;
}
El código JavaScript que debes incluir es el siguiente:
var div = document.querySelector("div");
div.addEventListener('click', function() {
this.style.background = 'yellow';
});
En la primera línea del código JavaScript nos estamos enlazando al evento click del <div>. De esa forma, cuando le hagan click, se va a ejecutar el código que está dentro de la función, que cambia el fondo a amarillo.
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Codepen
Desde un documento HTML
Un ejemplo